根基：利普希茨連續性
為了控制誤差的傳播，我們需要一個函數 $f(t, y)$，其變化不至於過於劇烈。這由 利普希茨條件所形式化。
若在集合 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上存在常數 $L > 0$，使得函數 $f(t, y)$ 對變量 $y$ 滿足利普希茨條件，則有：
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
對所有 $(t, y_1), (t, y_2) \in D$ 成立。此常數 $L$ 即為函數垂直變化之「速度限制」。
範例 1：分析利普希茨常數
考慮在 $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$ 上的函數 $f(t, y) = t|y|$。根據均值定理（或絕對值的性質）：
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$。
由於在定義域內 $t$ 的最大值為 2，因此利普希茨常數為 $L=2$。
定義域幾何完整性
我們無法在充滿孔洞的定義域中求解初值問題（IVP）。我們需要 凸性所形式化。
若對於任意兩點 $(t_1, y_1)$ 與 $(t_2, y_2)$，其所定義的線段：
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
其中 $\lambda \in [0, 1]$，也包含於 $D$ 內。這確保了解路徑的任何部分都不會「離開」有效的計算區域。
存在性與唯一性定理
當這些條件同時滿足時，我們引出 定理 5.4：若 $f$ 在凸集 $D$ 上連續且滿足利普希茨條件，則初值問題 $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ 存在唯一 的解 的解 $y(t)$。這解釋了為何像歐拉法 ($w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$) 這樣的簡單方法，或是如預測-校正邏輯這樣的複雜方法都成立：
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$。